penggunaan turunan "Kalkulus "

PENGUNAAN TURUNAN

4.1 Titik Ekstrim, Titik Belok, Asimtot, dan Grafik Fungsi

Ekstirm Mutlak dan Ekstrim Lokal kita mulai pasal ini dengan mendefinisikan ekstrim mutlak dan ekstrim lokal dari suatu fungsi yang diketahui pada suatu selang.

Definisi 4.1 Misalkan fungsi f kontinu pada selang I yang memuat titik c.

· Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f(c) ≥ f(x) untuk setiap x Є I. di sini f(c) dinamakan nilai maksimum mutlak, dan (c,f(c)) dinamakan titik maksimum mutlak mutlak dari fungsi f pada selang I.

· Fungsi f dikatakan mencapai minimum mutlak di c jika f(c) ≤ f(x) untuk setiap x Є I. di sini f(c) dinamakan nilai mimimum mutlak, dan (c,f(c)) dinamakan titik mimimum mutlak mutlak dari fungsi f pada selang I.

· Fungsi f dikatakan mencapi maksimum lokasl di c jika terdapat suatu δ > 0 sehingga pada selang ( c – δ, c +δ) berlaku f(c) ≥ f(x). di sini f(c) dinamakan nilai maksimum lokal, dan (c,f(c)) dinamakan titik maksimum lokal dari fungsi f pada selang I.

· Fungsi f dikatakan mencapi minimum lokasl di c jika terdapat suatu δ > 0 sehingga pada selang ( c – δ, c +δ) berlaku f(c) ≥ f(x). di sini f(c) dinamakan nilai minimum lokal, dan (c,f(c)) dinamakan titik minimum lokal dari fungsi f pada selang I.

Catatan: maksimum dan minimum daru suatu fungsi dinamakan ekstrim fungsi tersebut.

Turunan di Titik Ekstrim Lokal

Pada suatu fungsi yang terdeferensialkan di titik ekstrim lokalnya, turunan fungsi di titik ekstrim lokalnya selalu nol. Berikut ini adalah teorema tentang turunan di titik ekstrim lokal beserta pembuktiannya.

Contoh

tentukan titik kritis dari f(x)=2x² + 4x ; pada selang tertutup I = [-2,1]

jawab: f'(x)=0

f'(x) = 4x + 4 = 0

x = 1

berarti titi kritisnya yaitu:

[-2, 1,]

Teorema 4.2 Turunan di titik ekstrim lokal

Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka I yang memuat c. jika fungsi f mencapai ekstrim lokal di c dan fungsi f terdiferensialkan di c, maka f’(c) = 0.

Bukti: kita buktikan untuk kasus maksimum lokal saja, kasus minimum lokal serupa. Karena fungsi f mencapai maksimum lokal di c, maka di sekitar c belkau F(c) ≥ f(x), sehingga f(x) – f(c) ≤ 0. Karena fungsi f terdiferensialkan di c, maka kita mempunyai

f’(c) = f_-^‘(c) = dan f’(c) = f₊^‘(c) = .

ini mengakibatkan f’(c) ≥ 0 dan f’(c) ≤ 0, sehingga kesimpulannya f’(c) = 0.

Catatan: Kebalikan Teorema 1.2 tidak benar lain, cntoh penyangkalan adalah fungsi f(x) = x³. Di sini berlaku f’(0) = 0 tetapi fungsi f tidak mencapi ekstrim di 0.

Contoh

kapan fungsi f(x) = 4x – x² naik dan turun

jawab: fungsi itu turun ketika f'(x) <>

4 – 2x <>

x > 2

fungsi itu naik ketika f'(x) > 0

4 – 2x > 0

x <2

Cara Mencari Ekstrim Ekstrim Mutlak pada Selang Tertutup

Salah satu fungsi kontinu mengatakan bahwa jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka fungsi f terbatas pada [a,b] (Teorema 2.16). batas atas terkecilnya adalah f(x) dan batas bawah terbesarnya f(x). kedua batas ini meenjadi nilai maksimum dan minimum mutlak dari fungsi f pada selang tertutup [a,b], yang ditentukan dengan cara berikut.

· Tentukan semua titik kritis dari fungsi f pada selang tertutup [a,b] beserta nilai fungsinya, termasuk kedua titik ujung selangnya.

· Bandingkan nilai fungsi di semua titik kritisnya, yang terbesar akan menjadi maksimum mutlaknya, dan yang terkecil akan menjadi minimum mutlaknya.

Contoh :

Tentukan ekstrim mutlak dari fungsi f(x) 3x⁴ – 4x³ , -1 ≤ x ≤ 2.

Jawab: Turunan pertama dari fungsi f(x) adalah

f^’(x) = 12x³ – 12x² = 12x²(x – 1)

sehingga titik kritis dari fungsi f tercapai bila f’(x) = 0 dan di titik ujung selangnya. Ini mengakibatkan titik kritis dari fungsi f tercapai di

x = 0, x = 1, x = -1, dan x = 2

dengan

f(0) = 0, f(1) = -1, f(-1) = 7, dan f(2) = 16

dari keempat nilai fungsi ini, yang terbesar adalah f(2) = 16 dan yang terkecil f(1) = -1. Jadi nilai maksimum mutlak dari fungsi f adalah 16, yang tercapai di x = 2, dan nilai minimum mutlaknya -1, yang tercapai di x = 1.

Uji Turunan Pertama untuk Kemotonan Fungsi

Perhatikan fungsi f(x) = x², yang monoton turun pada selang (-∞,0) karena x < 0 =""> x² > 0, dan monoton naik pada selang (0, ∞) karena x > 0 => f(x) = x² > 0. Turunan pertama dari fungsi f adalah f’(x) = 2x, sehingga kita mempunyai fenomena bahwa fungsi f monoton turun bila f’(x) <> 0. Fenomena ini sejalan dengan arti geometri turunan sebagai gradien garis singgung pada kurva. Ternyata bahwa fenomena ini berlaku untuk setiap fungsi f yang terdiferensialkan, yang teoremanya sebagai berikut.

Teorema 4.3 (Uji turunan Pertama untuk Kemonotonan Fungsi)

Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang I. jika f’(x) > 0 pada selang I, maka fungsi f monoton naik pada I dan jika f’(x) <>

Bukti: kita buktikan teorema yang pertama saja, yang kedua dibuktikan serupa. Disini kita harus membuktkan fungsi f monoton naik pada I dengan cara memperlihatkan jika u, v pada I dengan u <>

Karena fungsi f terdiferensialkan pada selang I yang memuat selang [u,v], maka menurt TNR terdapat suatu c ª (u,v) sehingga

Pada bentuk ini diketahi f’(c) > 0 dan v - u > 0, yang mengakibatkan f(u) – f(v) > 0. Dari sini diperoleh f(u) <>

Uji turunan pertama untuk menentukan lokasi ekstrim lokal

Dari selang kemonotoan suatu fungsi kontinu dapat ditentukan lokasi ekstrim lokalnya berdasarkan perubahan kemonotonan fungsinya. Perubahan kemonotonan di sekitar titik kritis dari fungsinya dapat ditentukan dengan perubahan tanda dari turunan pertamanya di sekitar titik kritis tersebut. Di sekitar titik ktitis tersebut, perubahan dari monotonnaik ke monoton turun menghasilkan minimum lokal. Lokasi ekstrim lokal diberikan dalam teorema berikut.

Contoh :

cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x)=9x² – 36x pada (-∞,∞)

jawab:

karena pada selang terbuka (-∞,∞)

maka satu – satunya titik kritis diperoleh dari

f'(x) = 0

18x – 36 = 0

x = 2

maka

f(2) = 9(2)² -36(2) = -36

Teorema 4.4 (Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal)

Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuak I yang memuat titik kritis c.

· Jika terdapat r > 0 sehingga f’(x) > 0 pada selang (c – r, c) I dan f’(x) <> I, maka fungsi f mencapi maksimum lokal di c.

· Jika terdapat r > 0 sehingga f’(x) <> I dan f’(x) > 0 ada selang (c,c + r) I, maka fungsi f mencapi minimum lokal di c.

Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal

Ekstrim lokal beserta jenisnya dari suatu fungsi dapt juaga ditentuka dengan memeriksa tanda turunan kedua di titik kritisnya, teoremanya sebagai berikut.

x = √12

Teorema 4.5 (Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal)

Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c.

· Jika f’(c) = 0 dan f” (c) <>

· Jika f’(c) = 0 dan f”(c) > 0, maka fungsi f mencapai minimum lokal di c.

Bukti Kita buktikan yang pertama saja, yang kedua dikerjakan serupa. Dar definisi turunan kedau fungsi f di c dengan menginngat bahwa f’(c) = 0 dan f”(c) <>

Akibatnya, disekitar titik c berlaku , yang menghasilkan

x < c =""> x – c < 0 =""> f’(x) > 0 dan x > c => x – c > 0 => f’(x) <>

Berdasarkan teorema 4.4 (uji turunan untuk ekstrim lokal), fungsi f mencapi maksimaum lokal di c, dan terbuktilah yang diinginkan.

4.1.2 Lokasi titik belok

Definisi 4.6

Fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I dikatakan

· Cekung ke atas pada selang I jika fungsi f’ monoton naik pada I,

· Cekung ke bawah pada selang I jika fungsi f’ monoton turun pada I.

Uji turunan kedau untuk kecekungan fungsi

Karena kemonotonan fungsi dapat dikaitkan dengan tanda dari turunan pertamanya, maka kecekungan suatu fungsi pada selang terbuka dapat ditentukan dari tanda turunan keduanya, teoremanya sebagai berikut:

Teorema 4.7 (Uji kedua untuk kecekungan fungsi)

Misalkan fungsi f terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka I. jika f”(x) > 0 pada I, maka fungsi f cekung ke atas pada I, dan jika f”(x) <>

Bukti:

Karena f”(x) > 0 pada I, maka fungsi f’ monoton naik pada I. berdasarka n dengan definisi 4.6 tentang kecekungan, kondisi ini mengakibatkan fungsi f cekung ke atas pada I. Karena f”(x) <>

Turunan kedau di titik belok

Jika fungsi mempunyai turunan kedua dititik belok, maka nilai turunan keduanya selalu nol. Berikut ini adalah teorema yang menyatakan sifat tersebut beserta buktinya.

Teorema 4.8

Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c. jika fungsi f mencapi titik belok di c, dan f”(c) ada, maka f”(c) = 0.

Bukti: karena fungsi f mencapai titik belok di c, maka besar x = c terjadi perubahan kecekungan dari fungsi f. ini berarti bahwa di sekitar x = c terjadi perubahan kemonotonan dari f’, sehingga ekstrim lokal dari f’ tercapaidi x = c. dari sifat turunan ekstrim lokal, langsung diperoleh f”(c) = (f’)’ = 0, dan terbuktilah yang diinginkan.

Turunan ketiga di titik belok

Dari konsep titik belok dan teorema 4.8 kita mempunyai sifat bahwa jika f” (c) = 0 dan di sekitar c terjadi perubahan kecekungan fungsi f, maka fungsi f mencapi titik belok di x = c. syarat terdapatnya perubahan kecekungan dari f disekitar c dapat diganti oleh f”’ (c), asalkan fungsi f mempunyai turubab kedua di sekitar c. berikut adalah teorema yang menyatakan sifat tersebut beserta buktinya.

Teorema 4.9

Misalkan fungsi f mempunyai turunan kedua pada selang terbuka I yang memuat c dan f”’ (c) ada. Jika f”(c) 0 dan f”’(c) ≠ 0, maka fungsi f mencapi titik belok di c.

Bukti: Karena f”(c) = 0, maka fungsi f mempunyai garis singgung di di x = c. dari definisi turunan ketiga di c dengan mengingat f”(c) = di peroleh

Berdasarkan sifat nilai fungsi, kita mempunyai pada selang (c - r, c + r) I untuk suatu r > 0. Akibatnya, x Є (c – r, c + r) I berlaku

, atau

Untuk kemungkinan pertam, x < c =""> x – c < 0 =""> f” (x) < 0 =""> f cekung ke bawah dab x > c => x – c > 0 => f”(c) > 0 => f cekung ke atas. Jadi kecekungan fungsi f berubah di sekkitar c. dengan cara yang sama, kemungkina kedau juga mengahasilkab perubahan kecekungan di sekitar c. karena itu fungsi f mencapai titik belok di c, dan terbuktilah yang diinginkan.

Grafik suatu fungsi dapat digambarkan berdasarkan informasi tentang selang kemonotonannya, semua titik ekstrim beserta jenisnya, selang kecekungan, semua titik belok, semua asimtot, dan beberapa titik yang diperlukan.

Contoh 4.19 diketahui fungsi .

Tentukan selang kemonotonan, semua titik ekstrim lokal beserta jenisnya, selang kecekungan, dan semua asimtot fungsi f.

Jawab: fungsi f terdefinisi pada R – {0} dan dapat di tulis dalam bentuk

Turunan pertama dan kedua dari fungsi f adalah

Titik kritis dari fungsi f tercapai bila f’(x) = 0, yang menghasilkan x =-1 dan x =1, dengan f(-1)=0 dan f(1) = 4. Titik kritis dari fungsi f’ tidak ada karena fungsi f tidak terdefinisi di x = 0.

Kesimpulan:

· Fungsi f monoton naik pada selang (-∞, -1) dan pada selang (1,∞); monoton turun pada selang (-1,0), dan pada selang (0,1).

· Fungsi f mencapai maksimum lokal di c = -1 dengan f(-1) = 0; dan minimum lokal di x = 1 dengan f(1) = 4.

· Fungsi f cekung ke bawah pada selang (-∞,0) dan cekung ke atas pada selang (0,∞).

· Fungsi f tidak mempunyai titiik belok karena tidak terdefinisi untuk x = 0,